Some Important Points
• “Elements of Geometry” नामक पुस्तक यूक्लिड ने लिखी है।
• यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका :– दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए दो ऐसे अद्वितीय पूर्णांक q और r होता है कि
a = bq + r जहाँ 0 ≤ r < b
• यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म :– यह यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका पर आधारित है। इसका प्रयोग दो धनात्मक पूर्णांकों a और b का म०स० (HCF) ज्ञात करने के लिए किया जाता है।
• दो लगातार सम संख्याओं का HCF 2 होता है।
• दो लगातार प्राकृतिक संख्याओं का HCF 1 होता है।
• प्रमेयिका (Lemma) :– प्रमेयिका एक कथन हैं जिसका उपयोग अन्य कथन को सिद्ध करने में किया जाता है।
• शब्द ‘एल्गोरिथ्म’ 9वीं शताब्दी के एक फारसी गणितज्ञ अल-ख्वारिज़मी के नाम से लिया गया है।
• भाज्य = भाजक × भागफल + शेषफल
a = bq + r जहाँ q ≠ 0
• दो संख्याओं का गुणनफल = उनका म०स० × ल०स०
a × b = HCF × LCM
• किसी भी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार या तो सांत होता है या असांत आवर्ती होता है।
• किसी भी अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार असांत अनावर्ती होता है।
• यदि q = 2m•5n, जहाँ m, n अऋणात्मक पूर्णांक है अर्थात q का कोई दूसरा गुणनखंड 2 और 5 के घातों को छोड़कर, नहीं है तब p/q का दशमलव विस्तार सांत होगा। लेकिन यदि q का 2, 5 को छोड़कर दूसरा अभाज्य गुणनखंड हो तब परिमेय संख्या p/q का दशमलव विस्तार असांत आवर्ती होगा।
MCQ QUESTIONS
1. सह-अभाज्य संख्याओं का म०स० (HCF) होता है ?
(A) 1
(B) 0
(C) संख्याओं का गुणनफल
(D) इनमें से कोई नहीं
2. यदि a और b दो अभाज्य संख्याएं हैं तो उनका ल०स० (LCM) होगा?
(A) 1
(B) 0
(C) ab
(D) इनमें से कोई नहीं
3. संख्या 0.10100100010000… है ?
(A) एक पूर्णांक
(B) एक परिमेय संख्या
(C) एक अपरिमेय संख्या
(D) इनमें से कोई नहीं
4. इनमें कौन एक अभाज्य संख्या है ?
(A) 2
(B) 9
(C) 87
(D) 249
5. निम्नलिखित में से कौन एक परिमेय संख्या नहीं है ?
(A) 22/7
(B) 3.14
(C) π
(D) इनमें से कोई नहीं
6. किसी परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार होता है ?
(A) केवल सांत
(B) सांत या असांत आवर्ती
(C) सांत या असांत अनावर्ती
(D) सांत, असांत आवर्ती और असांत अनावर्ती तीनों
7. निम्नलिखित में से कौन एक अपरिमेय संख्या नहीं है ?
(A) 2/√7
(B)√5
(C) π
(D) (3√108)/(√75)
8. दो संख्याओं का गुणनफल 14196 है और उनका म०स० 26 है, तो उनका ल०स० क्या होगा ?
(A) 546
(B) 444
(C) 369096
(D) 13
9. यदि LCM (209, 114) = 1254, तो HCF (209, 114) = ?
(A) 26
(B) 17
(C) 19
(D) 13
10. निम्नलिखित में से किस परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार सांत है ?
(A) 33/15
(B) 4/9
(C) 7/45
(D) 1/6
11. यदि m एक पूर्णांक हो, तो प्रत्येक विषम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है ?
(A) 2m
(B) 2m + 2
(C) 2m + 1
(D) m
12. यदि q एक पूर्णांक हो, तो प्रत्येक सम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है ?
(A) q
(B) q + 1
(C) 2q + 1
(D) 2q + 2
13. संख्या n²–1, संख्या 8 से विभाजित होती है जब
(A) n एक सम संख्या है।
(B) n एक विषम संख्या है।
(C) n एक प्राकृत संख्या है।
(D) n एक पूर्णांक है।
14. वह बड़ी-से-बड़ी संख्या, जिससे 75 और 225 को विभाजित करने पर क्रमशः 7 और 4 शेष बचता है ?
(A) 51
(B) 34
(C) 41
(D) 17
15. a और b दो धनात्मक पूर्णांक है जहाँ a = ab³ और b = a³b है, तो HCF (a, b) = ?
(A) ab³
(B) a³b
(C) ab
(D) a³b³
16. a और b दो धनात्मक पूर्णांक है जहाँ a = ab³ और b = a³b है, तो LCM (a, b) = ?
(A) ab³
(B) a³b
(C) ab
(D) a³b³
17. एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल होता है?
(A) सदैव परिमेय संख्या
(B) सदैव परिमेय संख्या
(C) कभी परिमेय संख्या तो कभी अपरिमेय संख्या
(D) अनंत
18. एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का योग होता है ?
(A) सदैव परिमेय संख्या
(B) सदैव अपरिमेय संख्या
(C) कभी परिमेय संख्या तो कभी अपरिमेय संख्या
(D) अनंत
19. यदि 65 तथा 117 का म० स० 65m – 117 के रूप में है, तो m का मान है ?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) 4
20. किसी अपरिमेय संख्या का दशमलव प्रसार होता है ?
(A) केवल सांत
(B) केवल असांत आवर्ती
(C) केवल असांत अनावर्ती
(D) सांत या असांत अनावर्ती
21. संख्या-रेखा पर दिखाया जा सकता है ?
(A) केवल प्राकृत संख्याओं को
(B) केवल पूर्णांकों को
(C) केवल परिमेय संख्याओं को
(D) सभी वास्तविक संख्याओं को
22. संख्या 0.6 (Recurring on 6) को p/q के रूप में लिखने पर प्राप्त होता है ?
(A) 1/2
(B) 2/3
(C) 1/5
(D) 1/3
23. किन्हीं दो धनात्मक पूर्णांकों a और b के लिए इनमें से कौन सत्य है?
(A) ab = HCF (a, b) × LCM (a, b)
(B) a + b = HCF (a, b) × LCM (a, b)
(C) ab = HCF (a, b) ÷ LCM (a, b)
(D) a ÷ b = HCF (a, b) × LCM (a, b)
24. संख्या 14587/1250 का दशमलव प्रसार है ?
(A) सांत
(B) असांत आवर्ती
(C) असांत अनावर्ती
(D) इनमें से कोई नहीं
25. परिमेय संख्या p/q का दशमलव प्रसार सांत होने के लिए इसके हर q का अभाज्य गुणनखंड निम्नलिखित में से किस रूप का होना चाहिए ?
(A) (2 x 5)n, जहाँ n ऋणेतर पूर्णांक है।
(B) 2m + 5n, जहाँ m और n ऋणेतर पूर्णांक है।
(C) 2m × 5n, जहाँ m और n ऋणेतर पूर्णांक है।
(D) 2m × 5n × 7º, जहाँ m, n और ० ऋणेतर पूर्णांक है।
26. संख्या 679/60 का दशमलव प्रसार है ?
(A) सांत
(B) असांत आवर्ती
(C) असांत अनावर्ती
(D) इनमें से कोई नहीं
27. संख्या 5√2/53 का दशमलव प्रसार है ?
(A) सांत
(B) असांत आवर्ती
(C) असांत अनावर्ती
(D) इनमें से कोई नहीं
28. निम्नलिखित में से कौन एक भाज्य संख्या नहीं है ?
(A) 13
(B) 27
(C) 56
(D) 35
29. संख्या 144 के अभाज्य गुणनखंड में 2 का घातांक है ?
(A) 3
(B) 13
(C) 4
(D) 5
30. संख्या 144 के अभाज्य गुणनखंड में 3 का घातांक है ?
(A) 3
(B) 9
(C) 2
(D) 5
31. इनमें से कौन एक अपरिमेय संख्या है ?
(A) √15
(B) √25 + √16
(C) 3/4
(D) √9
32. दो लगातार संख्याओं का म० स० (HCF) होता है ?
(A) 1
(B) 0
(C) संख्याओं का गुणनफल
(D) इनमें से कोई नहीं
33. किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं का योग होता है ?
(A) सदैव परिमेय संख्या
(B) सदैव अपरिमेय संख्या
(C) कभी परिमेय संख्या तो कभी अपरिमेय संख्या
(D) अनंत
34. किन्हीं दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल होता है ?
(A) सदैव परिमेय संख्या
(B) सदैव अपरिमेय संख्या
(C) कभी परिमेय संख्या तो कभी अपरिमेय संख्या
(D) अनंत
35. इनमें से कौन एक परिमेय संख्या है ?
(A) 2 × √32
(B) √12 × √48
(C) √(25/500)
(D) √1000
36. किन्हीं दो परिमेय संख्याओं का योग या गुणनफल होता है ?
(A) सदैव परिमेय संख्या
(B) सदैव अपरिमेय संख्या
(C) कभी परिमेय संख्या तो कभी अपरिमेय संख्या
(D) अनंत
37. 45 और 60 का म० स० है ?
(A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 15
38. 0.23 =
(A) 23/100
(B) 23/90
(C) 11/50
(D) 23/99
39. π/4 है ?
(A) परिमेय संख्या, क्योंकि π = 22/7 होता है
(B) अपरिमेय संख्या
(C) पूर्णांक
(D) इनमें से कोई नहीं
40. 7° + 5° = ?
(A) 0
(B) 12
(C) 1
(D) 2
41. 7° × 5° = ?
(A) 0
(B) 35
(C) 1
(D) 12
42. सबसे छोटी भाज्य संख्या और सबसे छोटी अभाज्य संख्या का म० स० कितना होगा ?
(A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 6
43. संख्याओं 4, 20 और 36 के ल० स० और म० स० क्रमशः है ?
(A) 4, 180
(B) 90, 4
(C) 4, 90
(D) 180, 4
44. निम्नलिखित में से कौन एक अभाज्य संख्या है ?
(A) 15
(B) 29
(C) 87
(D) 27
45. यदि a = (23 × 3 × 5) और b = (24 × 5 × 7) हो, तो ल० स० (a, b) = ?
(A) 40
(B) 560
(C) 830
(D) 1680
46. 2 अंकों की कितनी संख्याएँ 5 से पूर्णतः विभाजित है ?
(A) 20
(B) 25
(C) 18
(D) 16
47. 216 का अभाज्य गुणनखंड है ?
(A) 2³ × 3³
(B) 2³ × 3²
(C) 2² × 3³
(D) 2⁴ × 3²
48. संख्याओं 4, 18 और 12 के ल० स० और म० स० का अनुपात है ?
(A) 9
(B) 18
(C) 36
(D) 12
49. दो परिमेय संख्याओं के बीच कितनी परिमेय संख्याएँ होती है ?
(A) 0
(B) परिमेय संख्याओं के योग के बराबर
(C) परिमेय संख्याओं के गुणनफल के बराबर
(D) अनंत
50. निम्नलिखित में से कौन एक परिमेय संख्या है ?
(A) √32
(B) 2 + √15
(C) 3√7
(D) √64
51. (5 + 3/√7) है ?
(A) एक परिमेय संख्या
(B) एक अपरिमेय संख्या
(C) एक मिश्र भिन्न संख्या
(D) एक पूर्णांक
52. किन्हीं दो संख्याओं का ल० स० 36 और म० स० 2 है। यदि इनमें से एक संख्या 18 है, तो दूसरी संख्या है ?
(A) 72
(B) 18
(C) 4
(D) 2
53. सबसे छोटी अभाज्य संख्या और सबसे छोटी भाज्य संख्या का गुणनफल कितना होगा ?
(A) 4
(B) 6
(C) 8
(D) 2
54. यदि a और b दो अभाज्य संख्याएं हैं तो उनका म० स० (HCF) होगा ?
(A) 1
(B) 0
(C) ab
(D) इनमें से कोई नहीं
55. संख्या 7.14114111411114… है ?
(A) एक पूर्णांक
(B) एक परिमेय संख्या
(C) एक अपरिमेय संख्या
(D) इनमें से कोई नहीं
56. 0 और 50 के बीच कितनी सम और कितनी विषम संख्याएँ है?
(A) 24, 25
(B) 25, 24
(C) 25, 25
(D) 24, 24
57. संख्या 3.27 है ?
(A) एक पूर्णांक
(B) एक परिमेय संख्या
(C) एक अपरिमेय संख्या
(D) इनमें से कोई नहीं
58. निम्नलिखित में से किसका दशमलव प्रसार सांत है ?
(A) 3/8
(B) 23/343
(C) 6/105
(D) 15/189
59. निम्नलिखित में से किसका दशमलव प्रसार असांत है ?
(A) 3/8
(B) 6/15
(C) 24/150
(D) 13/126
60. संख्या 6/15 का दशमलव प्रसार है ?
(A) सांत
(B) असांत आवर्ती
(C) असांत अनावर्ती
(D) इनमें से कोई नहीं
61. संख्या 0.32 को p/q के रूप में लिखें। (जहाँ p और q पूर्णांक है और q ≠ 0 है।)
(A) 32/97
(B) 32/90
(C) 29/90
(D) 29/96
62. निम्नलिखित में से कौन-सी अपरिमेय संख्या 2 और 2.5 के बीच स्थित है?
(A) √5
(B) √11
(C) √8
(D) √2.3
63. यदि n एक प्राकृतिक संख्या है, तो √n है ?
(A) सदैव एक प्राकृतिक संख्या
(B) सदैव एक पूर्णांक
(C) सदैव एक अपरिमेय संख्या
(D) कभी प्राकृतिक संख्या और कभी अपरिमेय संख्या
64. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सत्य है?
(A) दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है।
(B) एक परिमेय संख्या और एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय होता है।
(C) दो अपरिमेय संख्याओं का योग कभी अपरिमेय नहीं हो सकता है।
(D) एक पूर्णांक और एक परिमेय संख्या का योग कभी भी पूर्णांक नहीं होता है।
65. संख्या-रेखा पर प्रत्येक बिंदु प्रदर्शित करता है ?
(A) एक प्राकृत संख्या
(B) एक पूर्णांक
(C) एक परिमेय संख्या
(D) एक वास्तविक संख्या
66. √15 × √10 = ?
(A) 5√50
(B) 10/3
(C) 5√6
(D) 6√5
67. सबसे छोटी पूर्ण वर्ग संख्या जो 12, 16 और 20 तीनों से विभाज्य हो, वह है ?
(A) 1600
(B) 3600
(C) 2400
(D) 240
68. 6x4y और 12xy² के म० स० और ल० स० क्रमशः है ?
(A) 6x4y², 12xy
(B) 12x4y², 6xy
(C) 12xy, 6x⁴y²
(D) 6xy, 12x4y²
69. (3+√3)(3 – √3) है ?
(A) एक परिमेय संख्या
(B) एक अपरिमेय संख्या
(C) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(D) इनमें से कोई नहीं
70. संख्या 17/25 का दशमलव प्रसार है ?
(A) सांत
(B) असांत आवर्ती
(C) असांत अनावर्ती
(D) इनमें से कोई नहीं
71. संख्या 17/24 का दशमलव प्रसार है ?
(A) सांत
(B) असांत आवर्ती
(C) असांत अनावर्ती
(D) इनमें से कोई नहीं
72. यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथम निम्नलिखित में से किसे परिकलित करने की तकनीक है ?
(A) दो धनात्मक पूर्णांकों का म० स०
(B) दो धनात्मक पूर्णांकों का ल० स०
(C) परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार
(D) इनमें से कोई नहीं
73. सबसे छोटी अभाज्य संख्या है ?
(A) 1
(B) 3
(C) 2
(D) 11
74. √12 में किस छोटी संख्या से गुणा करने पर यह पूर्ण वर्ग बन जाएगी ?
(A) √2
(B) √3
(C) √6
(D) √12
75. निम्नलिखित में से कौन-सा कथन सही है ?
(A) π एक परिमेय संख्या है, क्योंकि π = 22/7 होता है।
(B) दो परिमेय संख्याओं का योग हमेशा परिमेय नहीं होता है।
(C) एक परिमेय संख्या व एक अपरिमेय संख्या का गुणनफल हमेशा अपरिमेय नहीं होता है।
(D) कभी-कभी दो अपरिमेय संख्याओं का गुणनफल अपरिमेय नहीं होता है।
76. सबसे छोटी भाज्य संख्या है ?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 0
77. यदि a = bq + r, जहाँ b और q धनात्मक पूर्णांक हो, तो r के लिए कौन-सा कथन सत्य है ?
(A) r < 0
(B) r > b
(C) r < b
(D) इनमें से कोई नहीं
78. अंकगणित की आधारभूत प्रमेय की सहायता से निम्नलिखित में से किसे परिकलित किया जा सकता है ?
(A) दो धनात्मक पूर्णांकों का म० स०
(B) दो धनात्मक पूर्णांकों का ल० स०
(C) परिमेय संख्या का दशमलव प्रसार
(D) इनमें सभी
79. 2 के वर्ग का घनमूल है ?
(A) 23/2
(B) 22/3
(C) 2/32
(D) इनमें से कोई नहीं
80. (√2 + 1)² है
(A) एक परिमेय संख्या
(B) एक अपरिमेय संख्या
(C) एक पूर्ण वर्ग संख्या
(D) इनमें से कोई नहीं
81. (√2+1)(√2-1) है
(A) एक धनात्मक परिमेय संख्या
(B) एक ऋणात्मक परिमेय संख्या
(C) एक अपरिमेय संख्या
(D) इनमें से कोई नहीं
82. √12 का परिमेयीकरण गुणांक क्या है ?
(A) √2
(B) √3
(C) √6
(D) √12
83. 102y = 25, तो 10-y बराबर है ?
(A) 1/5
(B) 1/50
(C) 1/625
(D) –1/5
84. (xn + 1) का एक गुणक (x + 1) है, तो n निश्चित रूप से
(A) एक विषम पूर्णांक है
(B) एक सम पूर्णांक है
(C) एक ऋणात्मक पूर्णांक है
(D) एक धनात्मक पूर्णांक है
85. किन्हीं दो संख्याओं के म० स० (HCF) और ल० स० (LCM) क्रमशः 15 और 1170 है। यदि उनमें से एक संख्या 195 हो, तो दूसरी संख्या है ?
(A) 105
(B) 90
(C) 75
(D) 120
– : समाप्त : –