Some Important Points
• यदि x एक चर है, n एक प्राकृत संख्या है और a0, a1, a2, …., an वास्तविक संख्याएँ हैं, तो f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 चर x में एक बहुपद कहलाता है।
• बहुपद का मानक रूप :– x में बहुपद को मानक रूप में कहा जाता है यदि x के घात या तो आरोही क्रम या अवरोही क्रम में हो।
बहुपदों का वर्गीकरण
i) जिस बहुपद में एक ही पद रहता है उसे एकपदी बहुपद कहते हैं। जैसे – 5x, 2, 7x² इत्यादि।
ii) जिस बहुपद में दो पद रहता है उसे द्विपदी बहुपद कहते हैं। जैसे – 2x⁵ – 7x, 3x⁵ + 2x इत्यादि।
iii) जिस बहुपद में तीन पद रहता है उसे त्रिपदी बहुपद कहते हैं। जैसे – 7x³ + 2x² – 5x इत्यादि।
• जिस बहुपद के सभी गुणांक शून्य होते हैं उसे शून्य बहुपद कहते हैं। जैसे – 0x⁴ – 0x² + 0 इत्यादि।
• जिस बहुपद में सिर्फ एक ही पद हो जो किसी वास्तविक संख्या के बराबर हो, उसे अचर बहुपद कहते हैं। जैसे – 2, -5, √3
बहुपद के प्रकार
i) रैखिक बहुपद
• एक घात वाला बहुपद एक घातीय बहुपद कहलाता है।
• रैखिक बहुपद का व्यापक रूप = ax + b, जहाँ a ≠ 0
• रैखिक बहुपद का आलेख एक सरल रेखा होता है।
ii) द्विघातीय बहुपद
• दो घात वाला बहुपद द्विघातीय बहुपद कहलाता है।
• द्विघात बहुपद का व्यापक रूप = ax² + bx + c, जहाँ a, b, c अचर है तथा a ≠ 0
• द्विघात बहुपद के अधिकतम दो शून्यक होते हैं।
• द्विघात बहुपद का आलेख परवलय होता है।
• द्विघात बहुपद ज्ञात करने का सूत्र = x² – (α + β)x + α.β
→ α + β = -b/a
→ α.β = c/a
→ 1/α+1/β= -b/c
iii) त्रिघातीय बहुपद
• तीन घात वाला बहुपद त्रिघातीय बहुपद कहलाता है।
• त्रिघात बहुपद का व्यापक रूप = ax³ + bx² + cx + d
• त्रिघात बहुपद ज्ञात करने का सूत्र = x³ – (α + β + γ)x² + (αβ + βγ + γα)x + α.β.γ
→ α + β + γ = -b/a
→ αβ + βγ + γα = c/a
→ α.β.γ = -d/a
MCQ QUESTIONS
1. रैखिक बहुपद के शून्यक की संख्या होती है ?
(A) 2
(B) 1
(C) 3
(D) इनमें से कोई नहीं
2. 2x² – 3x – 5 का एक शून्यक है ?
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) इनमें से कोई नहीं
3. यदि p(x) = q(x)•g(x) और p(x) की घात = 6 और g(x) की घात = 2 हो, तो p(x)/g(x) की घात होगा ?
(A) 4
(B) 6
(C) 3
(D) 12
4. बहुपद 6x² – 11x + 3 के शून्यकों का योग होगा ?
(A) 1/2
(B) 6/11
(C) 11/6
(D) – 11/6
5. रैखिक समीकरण में चर के घात की संख्या होती है ?
(A) 1
(B) 2
(C) 3
(D) इनमें से कोई नहीं
6. यदि a और b द्विघात बहुपद x2 – 3x + 5 के शून्यक हो, तो (a + b) का मान होगा ?
(A) 3
(B) 5
(C) – 3
(D) – 5
7. द्विघात बहुपद x² + 1/6x – 2 के शून्यक है ?
(A) (–3, 4)
(B) (–3/2, 4/3)
(C) (–4/3, 3/2)
(D) इनमें से कोई नहीं
8. यदि p(x) का एक गुणनखंड (x + 1) हो, तो बहुपद p(x) का एक शून्यक होगा ?
(A) – 1
(B) 1
(C) 0
(D) इनमें से कोई नहीं
9. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यक 5 और – 3 हो, तो बहुपद होगा?
(A) x² + 2x + 15
(B) x² – 2x + 15
(C) x² – 2x – 15
(D) इनमें से कोई नहीं
10. यदि द्विघात समीकरण ax² + bx = c, (a ≠ 0) के मूल α और β हो, तो (α + β) का मान क्या होगा ?
(A) – b/a
(B) b/a
(C) – a/b
(D) – c/a
11. यदि समीकरण 3x² – 10x + 3 = 0 का एक मूल 1/3 है, तो दुसरा मूल होगा ?
(A) – 1/3
(B) 1/3
(C) – 3
(D) 3
12. द्विघात समीकरण 4y² + 4y + 1 = 0 के मूलों का गुणनफल है ?
(A) 1/4
(B) – 1/4
(C) 1
(D) इनमें से कोई नहीं
13. समीकरण 7x² – 12x + 18 = 0 के मूलों के योग और मूलों के गुणनफल का अनुपात होगा ?
(A) 7:12
(B) 7:18
(C) 3:2
(D) 2:3
14. बहुपद 5y2 – 14y + 8 के शून्यकों का योग है ?
(A) 5/2
(B) – 5/2
(C) 14/5
(D) 8/5
15. बहुपद x² – 11 के शून्यक है ?
(A) 11, – 11
(B) √11, – 11
(C) √11, √11
(D) √11, – √11
16. निम्नलिखित में से किस द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग – 4 और गुणनफल – 5 है ?
(A) x² + 4x + 5
(B) x² – 4x – 5
(C) x2 – 4x + 5
(D) x² + 4x – 5
17. यदि बहुपद x² – kx + 8 के शून्यकों का योग 6 हो, तो k का मान क्या होगा?
(A) 8
(B) – 8
(C) 6
(D) – 6
18. शून्यक 4, 7 वाले द्विघात बहुपदों की संख्या कितनी होगी ?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) अनगिनत
19. बहुपद y² – 8y – 5 का घात है ?
(A) 2
(B) 0
(C) 1
(D) 3
20. निम्नलिखित में से किस समीकरण का एक मूल 2 है ?
(A) x² – 4x – 21 = 0
(B) x² – 4x + 5 = 0
(C) x² – 2x + 1 = 0
(D) 2x2 – 7x + 6 = 0
21. यदि f(x) = – x³ – 3x² + 2x + 2 हो, तो f(1) का मान है ?
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) – 1
22. बहुपद y² + 3y + 2 के मूलों का योग होगा ?
(A) 2
(B) – 2
(C) – 3
(D) 3
23. y²(1/y + 3) = ?
(A) y
(B) y + 3y³
(C) y³ + 3y
(D) y + 3y²
24. निम्नलिखित में से किस द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग 3 और गुणनफल – 10 है ?
(A) x² – 3x + 10
(B) x² + 3x – 10
(C) x² – 3x – 10
(D) इनमें से कोई नहीं
25. निम्नलिखित में से x² – √2x – 12 के शून्यक कौन है ?
(A) – 3√2, √2
(B) – 3√2, 1/√2
(C) – 3/√2, 1/2√2
(D) 2√2, 3√2
26. द्विघात बहुपद x(2x – 5) – 3 के शून्यकों का योग कितना है ?
(A) 5/2
(B) – 5/2
(C) – 3/2
(D) 2/5
27. निम्नलिखित में से कौन बहुपद है ?
(A) x² – 5x + 4√x + 3
(B) x3/2 – √x + x1/2 + 1
(C) √x + 1/√x
(D) √2x² – 3√3x + √6
28. बहुपद 2 – x(x + 1) के शून्यकों का गुणनफल है ?
(A) – 2
(B) 2
(C) 7
(D) 1
29. निम्नलिखित में से कौन बहुपद नहीं है ?
(A) 2 – x² + √3x
(B) ⅔x + 1
(C) x³
(D) 1/(x + 1)
30. द्विघात बहुपद 2x² + 5x – 12 के शून्यक है ?
(A) (4, 3/2)
(B) ( – 4, 3/2)
(C) ( – 3/2, 4/3)
(D) ( – 3, 4)
31. बहुपद x² – 2x – 3 के शून्यक है ?
(A) (3, 1)
(B) (3, – 1)
(C) ( – 3, 1)
(D) ( – 3, – 1)
32. यदि द्विघात बहुपद x² + 5x + 8 के शून्यक α और β हो, तो (α + β) = ?
(A) 5
(B) – 5
(C) 8
(D) – 8
33. यदि बहुपद x² + px – q के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हो, तो q का मान होगा ?
(A) – 1
(B) 1
(C) p
(D) p2
34. यदि α और β द्विघात बहुपद x² – 4x + 3 के मूल हो, तो (3α + 3β) का मान निम्न में से कौन होगा ?
(A) 12
(B) – 12
(C) 24
(D) 8
35. p(x) = x² – 3x – 4 का एक शून्यक है ?
(A) 2
(B) 4
(C) 0
(D) – 4
36. निम्नलिखित में से किस द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग – 3 और गुणनफल 2 है ?
(A) x² + 3x + 2
(B) x² + 2x – 3
(C) x² – 3x – 2
(D) x² – 3x + 2
37. द्विघात बहुपद x² – 2 के शून्यक है ?
(A) 2, 2
(B) – √2, √2
(C) – √2, – √2
(D) – 2, –2
38. यदि बहुपद p(x) = x² – 2x – 6 के शून्यक α और β हों, तो αβ का मान है ?
(A) 6
(B) – 6
(C) 2
(D) – 2
39. यदि बहुपद x² + ax – b के मूल बराबर परंतु विपरीत चिह्न के हों, तो a का मान है ?
(A) 1
(B) – 1
(C) 2
(D) 0
40. यदि बहुपद x² – 9x + a के मूलों का गुणनफल 8 है, तो a का मान है ?
(A) 9
(B) – 9
(C) 8
(D) – 8
41. द्विघात बहुपद x² + 3x + 2 के शून्यक है ?
(A) – 1, – 2
(B) 2, – 2
(C) – 1, 2
(D) 1, – 2
42. यदि बहुपद x² – x + 1 के शून्यक α और β हो, तो 1/α + 1/β का मान है ?
(A) – 1
(B) 1
(C) 0
(D) 2
43. द्विघात बहुपद में शून्यकों की अधिकतम संख्या कितनी होती है ?
(A) 2
(B) 3
(C) 1
(D) 4
44. यदि x = 1 दोनों समीकरणों x² + x + a = 0 और bx² + bx + 3 = 0 का मूल हो, तो ab =
(A) – 3
(B) 4
(C) 3
(D) इनमें से कोई नहीं
45. बहुपद y³ – 2y² – √3y + 1/2 का घात है ?
(A) 1/2
(B) 2
(C) 3
(D) 3/2
46. यदि किसी द्विघाती बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः 2 तथा – 15 हो, तो बहुपद है ?
(A) x² – 2x + 15
(B) x² – 2x – 15
(C) x² + 2x – 15
(D) x² + 2x + 15
47. यदि त्रिघाती बहुपद ax3 + bx2 + cx + d का एक शून्यांक शून्य है, तो इसके दो अन्य शून्यकों का गुणनफल है ?
(A) – c/a
(B) c/a
(C) 0
(D) b/a
48. P का मान जिसके लिए बहुपद x³ + 4x² – px + 8 पूर्णतया (x – 2) से भाज्य है ?
(A) 0
(B) 3
(C) 5
(D) 16
49. यदि f(x) = 2x² + 6x – 6 का शून्यांक α, β है, तो
(A) α + β = αβ
(B) α + β > αβ
(C) α + β < αβ
(D) α + β + αβ = 0
50. निम्नलिखित में से कौन बहुपद नहीं है ?
(A) ⅔x + 1
(B) 2 – x² + √3x
(C) 1/(x – 1)
(D) x³
51. यदि किसी द्विघात बहुपद x² – 2x + 5 = 0 के शून्यक α और β हों, तो α + β का मान होगा ?
(A) – 2
(B) 2
(C) 5
(D) – 5
52. द्विघात समीकरण x² + 2x – 3 = 0 के मूलों के योग का मान है?
(A) – 2
(B) 2
(C) 1/2
(D) – 1/2
53. यदि बहुपद p(x) = x² + 7x + 10 के शून्यक α, β हो, तो αβ का मान है ?
(A) 10
(B) – 10
(C) 1/10
(D) 7/10
54. 4x² + 1/7 बहुपद है।
(A) रैखिक
(B) द्विघाती
(C) त्रिघाती
(D) इनमें से कोई नहीं
55. एक रैखिक समीकरण का घात होगा ?
(A) 0
(B) 2
(C) 1
(D) इनमें से कोई नहीं
56. यदि द्विघात बहुपद q(x) = x² – x + 4 के शून्यक α, β हों, तब α + β का मान होगा ?
(A) – 1
(B) 4
(C) 1
(D) 0
57. द्विघात बहुपद के शून्यकों की संख्या होती है ?
(A) 2
(B) 3
(C) 1
(D) 4
58. यदि द्विघात समीकरण p(x) = 2x² + 3x – 4 = 0 के शून्यक α तथा β हों, तब α + β का मान होगा ?
(A) – 2/3
(B) – 2
(C) 2
(D) – 3/2
59. यदि बहुपद p(x) = x² – 2x + 5 के शून्यक a, b हों, तो ab का मान होगा ?
(A) 5
(B) – 5
(C) 2
(D) – 2
60. यदि α तथा β द्विघात समीकरण x² + x – 2 = 0 के मूल हों, तो 1/α + 1/β का मान होगा ?
(A) 1/2
(B) – 1/√2
(C) 1
(D) 2
61. निम्नलिखित में से कौन रैखिक बहुपद है ?
(A) 2x + 7
(B) x(x + 1)
(C) x(x + 1/x)
(D) इनमें से कोई नहीं
62. द्विघात बहुपद 6×2 – 7x – 3 का शून्यक होगा ?
(A) (3/2, 1/3)
(B) (– 3/2, 1/3)
(C) (3/2, – 1/3)
(D) (– 3/2, – 1/3)
63. यदि α तथा β द्विघात बहुपद f(x) = x² + 2x + 3 के मूल हों, तो 1/α + 1/β का मान होगा ?
(A) 3/2
(B) – 2/3
(C) 2/3
(D) – 3/2
64. द्विघात बहुपद x² – 3 के शून्यक होंगे ?
(A) (3, 3)
(B) ( –√3, + √3)
(C) ( – √3, – √3)
(D) ( – 3, – 3)
65. यदि α तथा β द्विघात बहुपद f(x) = x² – 3x + 5 के मूल हों, तो 1/α + 1/β का मान होगा ?
(A) 3/5
(B) 5/3
(C) – 3/5
(D) – 5/3
66. द्विघात बहुपद x² + 3x + 2 का शून्यक होगा ?
(A) (3, 2)
(B) ( – 3, 2)
(C) (3, – 2)
(D) ( – 1, – 2)
67. निम्नलिखित में से कौन बहुपद नहीं है ?
(A) 7
(B) y² + √2
(C) 3√x + 2x + 7
(D) 4x² – 3x +7
68. यदि द्विघात बहुपद p(x) = 2x² – 12x + 8 के शून्यक α, β हों, तो αβ का मान होगा ?
(A) 6
(B) – 6
(C) 4
(D) – 4
69. कौन रेखीय बहुपद व्यंजक है ?
(A) 2x – 5
(B) x² + 1/x + 3
(C) x² – 3x + 4
(D) 2x³ – 3x² + 5x + 7
70. एक द्विघात बहुपद के मूलों के योगफल तथा गुणनफल क्रमशः 2 तथा – 15 हैं। द्विघात बहुपद है ?
(A) x² – 2x + 15
(B) x² – 2x – 15
(C) x² + 2x – 15
(D) x² + 2x + 15
71. यदि α और β बहुपद f(x) = x² + x + 1 के मूल हों, तो 1/α + 1/β का मान है ?
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) इनमें से कोई नहीं
72. निम्नलिखित में से कौन बहुपद नहीं है ?
(A) √5x² – 3√2x + 4
(B) (1/4)x³ – 3x² + (1/√3)x + 2
(C) x + 1/x
(D) 3×2 – 4x + √5
73. घात एक वाला बहुपद कहलाता है ?
(A) द्विघात बहुपद
(B) त्रिघात बहुपद
(C) रैखिक बहुपद
(D) बहुपद नहीं
74. त्रिघात बहुपद का सबसे व्यापक रूप है ?
(A) ax² + bx + c
(B) ax4 + bx³ + c
(C) ax³ + bx² + cx + d
(D) ax² + bx² + c
75. बहुपद dy² + by + a के शून्यकों का गुणनफल होगा ?
(A) – a/d
(B) d/a
(C) – d/a
(D) a/d
76. द्विघात बहुपद x² + 12x + 35 के शून्यक है ?
(A) दोनों धनात्मक
(B) दोनों ऋणात्मक
(C) दोनों बराबर
(D) एक धनात्मक तथा दुसरा ऋणात्मक
77. द्विघात बहुपद (5y² – 25) के शून्यक हैं ?
(A) (5, – 5)
(B) (√5, – 5)
(C) (√5, – √5)
(D) (√5, √5)
78. एक द्विघाती बहुपद के शून्यकों का योग तथा गुणनफल क्रमशः 3 तथा – 40 हैं, तो द्विघाती बहुपद है ?
(A) x² – 3x – 40
(B) X² – 3x + 40
(C) x² + 3x – 40
(D) X² + 3x + 40
79. यदि बहुपद x² + ax – b के शून्यक एक-दूसरे के व्युत्क्रम हों, तो b का मान होगा ?
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) a2
80. यदि α और β समीकरण 2x² – x – 6 = 0 के मूल हों, तो (1/α + 1/β) = ?
(A) 6
(B) – 6
(C) 1/6
(D) – 1/6
81. बहुपद 2x² + 5x – 12 का घात है ?
(A) 1
(B) 2
(C) 0
(D) 3
82. x(x² + 2x) = ?
(A) x3 + 2x²
(B) x² + 2x
(C) x³
(D) 1 + 2x²
83. बहुपद x² – x + 1 के शून्यकों का योग होगा ?
(A) 1
(B) – 1
(C) 0
(D) 2
84. यदि बहुपद y² – y – 6 के शून्यक α तथा β हों, तो αβ = ?
(A) 6
(B) – 6
(C) 1
(D) – 1
85. यदि α तथा β द्विघात बहुपद p(x) = x² + 2x + 3 के मूल हों, तो αβ का मान होगा ?
(A) 3
(B) – 2
(C) 2
(D) – 3
86. बहुपद 4x² + 5√2x – 3 के शून्यक कौन-से हैं ?
(A) – 3√2, √2
(B) – 3√2, √2/2
(C) – 3√2/2, √2/4
(D) इनमें से कोई नहीं
87. निम्नलिखित में से कौन बहुपद नहीं है ?
(A) ⅔x + 1
(B) 2 – x² + √3x
(C) 1/(x –1)
(D) x³
88. यदि किसी द्विघात बहुपद के शून्यकों का योगफल 4 एवं गुणनफल 1 हो, तो वह द्विघात बहुपद होगा ?
(A) x² + 4x + 4
(B) x² – 4x + 1
(C) x2 – x + 4
(D) x² + 4x + 1
89. यदि समीकरण ax² + bx + c = 0 के मूल एक-दूसरे के व्युत्क्रम हों, तो
(A) a = b
(B) b = c
(C) c = a
(D) इनमें से कोई नहीं
90. द्विघात समीकरण x² – 6x + 2 = 0 के मूलों का योग है ?
(A) 2
(B) – 2
(C) 6
(D) – 6
91. यदि बहुपद 2x² + x + k का एक शून्यक 3 हो, तो k का मान होगा ?
(A) 21
(B) – 21
(C) 20
(D) इनमें से कोई नहीं
92. बहुपद 4u² + 8u के शून्यक है ?
(A) 2, 2
(B) – 2, 2
(C) 2, 0
(D) – 2, 0
93. निम्नलिखित में से किस द्विघात बहुपद के शून्यकों का योग और गुणनफल क्रमशः 0 और √5 हैं ?
(A) x² + √5x
(B) x² – √5x
(C) x² + √5
(D) X² – √5
94. यदि p(x) = x4 – 5x + 6 और g(x) = 2 – x² तो p(x)/q(x) का घात होगा ?
(A) 2
(B) – 2
(C) 4
(D) 8
95. यदि p(x) = x² – 5x + 6 और g(x) = x – 2 हो, तो p(x)/q(x) = ?
(A) x + 2
(B) x – 2
(C) x + 3
(D) x – 3
96. विभाजन एल्गोरिथम p(x) = g(x) × q(x) + r(x) के लिए निम्न में से कौन-सा कथन सही है ?
(A) r(x) = 0
(B) r(x) = 0 अथवा r(x) की घात > g(x) की घात
(C) r(x) = 0 अथवा r(x) की घात < g(x) की घात
(D) r(x) = 0 अथवा r(x) की घात = g(x) की घात
97. निम्नलिखित में से कौन द्विघात बहुपद है ?
(A) x³ + 2x²
(B) 4 – x²
(C) x² + 5 + x³
(D) x(x² + 1)
98. बहुपद वह बीजीय व्यंजक है, जिसके चर मान का घात
(A) एक पूर्णांक होता है।
(B) एक ऋणात्मक पूर्णांक होता है।
(C) एक धनात्मक पूर्णांक होता है।
(D) एक परिमेय संख्या होता है।
99. यदि α, β द्विघात बहुपद f(x) = x² – 5x + 7 के मूल हों, तो 1/α + 1/β का मान होगा ?
(A) – 5/7
(B) 5/7
(C) 7/5
(D) – 7/5
100. निम्नलिखित में से कौन बहुपद है ?
(A) 1/(x² + 1)
(B) x(x² + 1/x²)
(C) ⅔x + 19
(D) X⅔ – 2×2 + 5x + 8
– : समाप्त : –